Product Topology

Definition / 定义

积拓扑：在拓扑学中，给定一族拓扑空间 \(\{X_i\}_{i\in I}\)，其笛卡尔积 \(\prod_{i\in I} X_i\) 上的积拓扑是使所有投影映射 \(\pi_i:\prod X_i\to X_i\) 都连续的最弱（最粗）拓扑。它的一个标准基由形如 \(\prod_{i\in I} U_i\) 的集合组成，其中每个 \(U_i\) 在 \(X_i\) 中开，且除有限多个指标外 \(U_i=X_i\)。

（注：在“盒拓扑 box topology”中，通常允许无限多个坐标都取真开集；这与积拓扑不同。）

Pronunciation / 发音

/ˈprɑːdʌkt təˈpɑːlədʒi/

Examples / 例句

The product topology on \(X\times Y\) makes both projection maps continuous.
在 \(X\times Y\) 上的积拓扑会使两个投影映射都连续。

In the product topology, a basic open set in \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) restricts only finitely many coordinates, which is crucial for results like Tychonoff’s theorem.
在积拓扑下，\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) 的一个基本开集只会限制有限多个坐标，这对诸如吉洪诺夫定理（Tychonoff 定理）之类的结论至关重要。

Etymology / 词源

product 来自拉丁语 productus（“延伸、产生”之意），在数学里常指“乘积/直积/笛卡尔积”的结构；topology 源于希腊语 topos（地点）+ -logia（学说）。因此 product topology 字面即“在乘积（直积）集合上定义的拓扑”，强调“由各分量空间的拓扑共同决定”的构造方式。

Related Words / 相关词

• Topology
• Topological Space
• Cartesian Product
• Projection
• Basis
• Subbasis
• Box Topology
• Tychonoff Theorem
• Continuous
• Product Space

Literary Works / 文学作品

• Topology — James R. Munkres（常用于系统介绍积拓扑与投影连续性等基本构造）
• General Topology — Stephen Willard（讨论积拓扑、盒拓扑及其性质）
• Topology — Klaus Jänich（以较直观方式引入乘积空间与积拓扑）
• General Topology — John L. Kelley（经典教材中对积拓扑与相关定理有详细阐述）